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--- science:formal:statistics:pdf-convolution [2025/09/27 14:48] – [解析的導出] falsycat
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 ===== 導出例 =====
+^$f_x\left(x\right)$^$f_y\left(y\right)$^$f_z\left(z\right)$^ ^
+|正規分布: $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)$|指数分布: $\lambda \exp\left(-\lambda x\right)$|ExGaussian: $\lambda \exp\!\left( \lambda\mu + \frac{1}{2}\lambda^2\sigma^2 - \lambda z \right)\cdot \tfrac{1}{2}\, \mathrm{erfc}\!\left( \frac{\mu + \lambda\sigma^2 - z}{\sqrt{2}\,\sigma} \right)$|[[#正規分布-指数分布|導出手順]]|
+==== 1. 正規分布+指数分布 ====
+畳み込みは以下の式によって行う。
+ただし、指数分布の定義域より、$z-x \geq 0$であるため、積分範囲は$\left[-\infty,z\right]$となる。
+$$
+\begin{split}
+f_Z\left(z\right)&=\int^{\infty}_{-\infty} f_X\left(x\right)f_Y\left(z-x\right) \\
+&=\int^{z}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \cdot \lambda \exp\left(-\lambda \left(z-x\right)\right) dx \\
+&=\frac{\lambda}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\lambda z\right)\int^{z}_{-\infty}\exp\left(\lambda x-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)dx
+\end{split}
+$$
+ここで、被積分項の$\exp$の中身を平方完成する。
+$$
+-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}+\lambda x = -\frac{1}{2\sigma^2}\left(x-\alpha\right)^2 + \frac{\alpha^2-\mu^2}{2\sigma^2}, \alpha=\mu+\sigma^2\lambda
+$$
+平方完成の結果を使うと、$f_Z\left(z\right)$は以下のように表せる。
+$$
+f_Z\left(z\right)=\frac{\lambda}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\lambda z + \frac{\alpha^2-\mu^2}{2\sigma^2}\right)\int^{z}_{-\infty}\exp\left(-\frac{\left(x-\alpha\right)^2}{2\sigma^2}\right)dx
+$$
+$u=\frac{x-\alpha}{\sqrt{2}\sigma}$として置換積分を行う。
+$$
+dx=\sqrt{2}\sigma du, x=z \implies u=\frac{z-\alpha}{\sqrt{2}\sigma} \\
+\begin{split}
+\int^{z}_{-\infty}\exp\left(-\frac{\left(x-\alpha\right)^2}{2\sigma^2}\right)dx &= \sqrt{2}\sigma \int^{\frac{z-\alpha}{\sqrt{2}\sigma}}_{-\infty} e^{-u^2}du \\
+&= \sqrt{2}\sigma \int^{\infty}_{\frac{\alpha-z}{\sqrt{2}\sigma}} e^{-u^2}du \\
+&= \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha-z}{\sqrt{2}\sigma}\right)
+\end{split}
+$$
+以上より、$f_Z\left(z\right)$は誤差関数$\mathrm{erfc}\left(x\right)$あるいは正規分布の累積分布関数$\Phi\left(x\right)$を用いて以下のように表せる。
+この確率密度関数で表される分布は、ExGaussian分布と呼ばれる。
+$$
+\begin{split}
+f_Z\left(z\right) &= \frac{\lambda}{2}\exp\left(-\lambda z + \frac{\alpha^2-\mu^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha-z}{\sqrt{2}\sigma}\right) \\
+&= \lambda\exp\left(\lambda \mu+\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda z\right) \cdot \frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{\mu+\sigma^2\lambda-z}{\sqrt{2}\sigma}\right) \\
+&= \lambda\exp\left(\lambda \mu+\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda z\right) \cdot \Phi\left(\frac{z-\mu}{\sigma}-\lambda \sigma\right)
+\end{split}
+$$
+ちなみに、$f_Z\left(z\right)$のグラフは下図の通り。
+ちょっと左に偏った正規分布っぽい感じになる。
+{{ :science:formal:statistics:pdf-convolution:normal_exponential.webp |}}